استخدام matlab (بحث متكامل ) مع الامثلة

(1-1) استخدام MATLAB:
برنامج MATLAB يستخدم لإجراء الحسابات التقنية المتقدمة ويتميز MATLAB بكونه برنامجاً متخصصاً يشيسر عمل الباحثين والدارسين في مختلف مجالات الدراسات العليا و ما قبلها ، فهو يتعامل مع المعادلات الرياضية ،والتكاملات ،والتفاضلات ، والمصفوفات المختلفة بسرعة وسهولة ، ويعامل الأعداد المركبة بنفس الطريقة التي يعامل بها الأعداد العادية . ويمكن MATLAB المستخدم من رسم المعادلات الرياضية في الإحداثيات المختلفة ، ويضم المئات من الدوال الجاهزة التي توفر للمبرمج وقتاً وجهداً عند إنشاء البرامج .
وتعني كلمة MATLAB معمل المصفوفات (Matrix Laboratory) ويمكن استخدامه مثل الآلة الحاسبة المتطورة أو تشغيل برامج رياضية معقدة . ويمكن تحميل البرنامج على الكمبيوتر الشخصي و استخدامه مباشرة مع نظام Windows وهو سهل الأستخدام كما يوضح الشكل(1-1)

الشكل (1-1): واجهة البرنامج


(2-1) استخدام MATLAB للحسابات البسيطة:

العمليات
الرمز
الأمثلة
عملية الجمع
+
3+22=25
عملية الطرح
-
90-54=36
عملية الضرب
*
3.14*0.85=2.669
عملية القسمة
/or\
56/8=7
عملية الأس
^
2^8=256
تجرى العمليات الحسابية البسيطة على MATLAB باستخدام الجدول (1-1).










الجدول (1-1)
بعض الأمثلة:
>> 2/3^2
ans =
0.2222
>> (2/3) ^2
ans =
0.4444
>> 2+3*4-4
ans =
10
>> 2^2*3/4
ans =
3
>> 2^(2*3)/(3+4)
ans =
9.1429

(3-1)المتجهات و المصفوفات:
في هذا الفصل نقوم بتناول المتجهات والمصفوفات وما يتعلق بهما من دوال وعمليات حسابية. المصفوفات هي أساس الإدخال في البرنامج فكل عدد يتم إدخاله هو بالنسبة لـ MATLAB مصفوفة قياس 1x1 فيجب أن نراعي قواعد المصفوفات الحسابية.
v المتجهات Vectors:
المتجة هو عبارة عن مجموعة من الأعداد توضع في صف واحد أو عمود واحد ويتم استخدامها في إدخال البيانات أو الحصول على المخرجات.
أي أنه يوجد لدينا نوعين من المتجهات:
1. متجه صفي :
والصورة العامة لكتابته كالتالي:

ويمكن وضع مسافة بدلاً من علامة الفاصلة وكلاهما يوضح أن جميع عناصر المتجه مرتبة كصف واحد.
2. متجه عمودي:
وكما نرى فإن العلامة التي تفصل بين كل عنصر والتالي له هي الفاصلة المنقوطة ( وهي التي تشير إلى أن كل عنصر من عناصر المتجهة في صف بمفرده.

التعامل مع المتجهات :
>> v=[0 1 2 3]

v =
0 1 2 3

ولأضافة عنصر للمتجه :
>> v(4)=5

v =
0 1 2 5

ولسحب عنصر من المتجه :
>> x=v(2)

x =
1


ولأخذ فقط عناصر المتجه من الثاني إلى الرابع :
>> x=v(2:4)

x =
1 2 5

ولأخذ فقط عناصر المتجه من الثاني إلى الرابع مع أثنان أثنان :
>> x=v(2:2:4)

x =
1 5

ولأخذ عناصر المتجه من العنصر الثالث بالسالب مع واحد واحد:
>> x=v(31)

x =
2 1 0
ولأضافة عنصر للمتجه :
>> v=[v(1:4),4]

v =
0 1 2 5 4
>> v=[-1,v(1:5)]

v =
-1 0 1 2 5 4
>> v=[v(1:2),10,v(3:4)]

v =
-1 0 10 1 2

العمليات الأساسية والدوال الخاصة بالمتجهات:
هناك العديد من الدوال التي يتم تنفيذها على المتجهات وتزيد من أهميتها واستخداماتها وسوف نقوم الآن بشرح معظم هذه العمليات والدوال من خلال الأمثلة التالية:
1. الدالة Length: تقوم بحساب عدد عناصر المتجه كما في المثال:
>> v=[2 5 0 1 4 -1]

v =
2 5 0 1 4 -1
>> length(v)

ans =
6
2. الدالة Sum: تقوم هذه الدالة بإيجاد حاصل جمع عناصر المتجه كما في المثال:

>> w=sum(v)

w =
11
3. الدالة Max:تقوم هذه الدالة بإيجاد أكبر عناصر المتجه من حيث القيمة كما في المثال:

>> w=max(v)

w =
5
4. الدالة Min: تقوم هذه الدالة بإيجاد أصغر عناصر المتجه من حيث القيمة كما في المثال:

>> w=min(v)

w =
-1
5. الدالة Size: تعطي قياس المتجة أو المصفوفة

>> Matrix=[1,2,3,;4,5,6]

Matrix =

1 2 3
4 5 6

>> [Matrix]=size(Matrix)

Matrix =

2 3

6. الدالة Sort:تقوم هذه الدالة بترتيب عناصر المتجه ترتيباً تصاعدياً

>> r=[9 7 5 8 3]

r =
9 7 5 8 3
>> s=sort(r)

s =
3 5 7 8 9
7. الدالة Range: تقوم هذه الدالة بحساب الفرق بين أكبر قيمة في المتجة وأصغر قيمة فيه
>> range(r)

ans =
6

العمليات الحسابية التي يتم إجراؤها على المتجهات: وتشمل هذه العمليات الحسابية عمليات الجمع والطرح والضرب والرفع إلى أس ولكن يجب الإشارة هنا أن هذه العمليات تتبع جميعها ما يسمى بجبر المصفوفات.
بعض الأمثلة للتوضيح:
>> x=[1,3,5];
>> y=[2,4,6];
>> z=x+y
z =
3 7 11
>> m=y-x
m =
1 1 1
>> p=x.*y
p =
2 12 30
>> p=x.^2
p =
1 9 25

v المصفوفات Matrices:
المصفوفات هي عبارة عن ترتيب معين لبيانات معينه وعادة ما تكون هذه البيانات أرقاماً، والمصفوفة تتكون من صفوف وأعمدة وعادة ما نقول من النظام (mxn) حيث أن m هو عدد الصفوف و n هو عدد الأعمدة.
>> Matrix=[1,2,3,;4,5,6;7,8,9]

Matrix =

1 2 3
4 5 6
7 8 9
كذلك إذا كان لدينا مصفوفة فأننا نستطيع إيجاد الصف الثاني أو الثالث من المصفوفة.
>> Matrix(2,

ans =
4 5 6


وكذلك نستطيع إيجاد العمود الثاني أو الثالث من المصفوفة.
>> Matrix(:,2)

ans =
2
5
8


إذ أردنا جميع عناصر المصفوفة بترتيب الأعمدة
>> Matrix(

ans =
1
4
7
2
5
8
3
6
9

أما إذا أردنا العنصر الواقع في الصف الأول والعامود الثاني:
>> Matrix(1,2)

ans =
2

ونحذف صف أو عمود من المصفوفة:
>> Matrix(:,2) = [ ]
Matrix =
1 3
4 6
7 9
>> Matrix(2, = [ ]
Matrix =
1 2 3
7 8 9

ونضيف صف أو عمود للمصفوفة:
>> Matrix=[1,2,3,;4,5,6;7,8,9;10,11,12]
Matrix =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12

ونجد قطر المصفوفة:
>> diag(Matrix)
ans =
1
5
9


Ø منقول المصفوفة (Transpose):
لتكن مصفوفة من الدرجة يعرف المنقول للمصفوفة A بأنه المصفوفة من الدرجة التي نحصل عليها من A بحيث تكون صفوفها هي أعمدة A وأعمدتها هي صفوف A على التوالي نرمز للمنقول A بالرمز .
>> A=[1 3 5; 2 4 6]

A =

1 3 5
2 4 6

>> A'

ans =

1 2
3 4
5 6

Ø المحددات: لتكن مصفوفة مربعة من الدرجة n يعرف محدد المصفوفة ويرمز له بالرمز استقرائياً كالتالي:
إذا كان
إذا كان
إذا كان
مثال يوضح المحددات:
>> A=[1 0 3 ; 4 5 0; 7 8 9]

A =

1 0 3
4 5 0
7 8 9
>> det(A)
ans =
36
وهنا يجب الإشارة إلى بعض أنواع المصفوفات ذات الحالات الخاصة التي سوف نوضحها فيما يلي:
1. المصفوفة الصفرية: وهي التي تكون كل عناصرها عبارة عن أصفار وتعتبر هذه المصفوفة هي المحايد الجمعي للمصفوفات.

>> x=zeros(3,2)

x =

0 0
0 0
0 0

2. مصفوفة التي جميع عناصرها الواحد الصحيح: وهي المصفوفة التي تتكون جميع عناصرها من الرقم واحد.

>> x=ones(3,2)

x =

1 1
1 1
1 1

3. مصفوفة الوحدة : وهي مصفوفة مربعة تكون جميع عناصر القطر الرئيسي لها الواحد الصحيح وباقي عناصرها الأخرى أصفار.
>> id=eye(4)

id =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(4-1)جبر المصفوفاتMatrix Algebra:
يعتمد جبر المصفوفات على قواعد غير القواعد المعهودة في العمليات الحسابية العادية التي يتم تطبيقها على الأعداد، وسوف نحاول فيما يلي توضيح هذه القواعد بقدر الإمكان:
Ø الدوال الخاصة بالمصفوفات:
1. دالة Sum: وهي تقوم بجمع عناصر كل عمود من أعمدة المصفوفة كل على حدة كما في المثال:
>> x=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]

x =

1 2 3
4 5 6
7 8 9

>> A=sum(x)

A =

12 15 18

>> A=sum(x')

A =

6 15 24
2. الدالة Max: وهي تقوم بعرض أكبر رقم موجود في كل عمود من أعمدة المصفوفة كما في المثال:
>> B=max(x)

B =

7 8 9

>> B=max(x')

B =
3 6 9
3. الدالة Size: تقوم هذه الدالة بعرض أبعاد المصفوفة كما في المثال :
>> [C,D]=size(x)

C =

3


D =

3
Ø إجراء العمليات الحسابية على المصفوفات:
1. الجمع:تتم عملية الجمع بجمع كل عنصر من عناصر المصفوفة الأولى مع العنصر المناظر له من عناصر المصفوفة الثانية كما في المثال:
>> A=[1,3;5,7];
>> B=[2,4;6,8];
>> C=A+B

C =

3 7
11 15

>> C=A+3

C =

4 6
8 10

2. الطرح: تتم عملية الطرح بطرح كل عنصر من عناصر المصفوفة الأولى مع العنصر المناظر له من عناصر المصفوفة الثانية كما في المثال:
>> C=A-B

C =

-1 -1
-1 -1
3. الضرب: تتم عملية الضرب بضرب عناصر المصفوفة ببعض كما في المثال:
>> C=A*B

C =

20 28
52 76
4. رفع المصفوفة إلى قوة(أس): كما يمكننا رفع المصفوفة المربعة إلى أس أو قوة كما في المثال:
>> C=A^2

C =

16 24
40 64

>> C=A.^2

C =

1 9
25 49
(5-1)الدوال المخزنة علىMATLAB:
الدوال هي عبارة عن أكواد برمجة سابقة الإعداد أو التجهيز تؤدي لنا وظائف متنوعة ولكل دالة اسم خاص بها لا يتشابه مع غيرها إلا أنه ينبغي التنوية إلى أنه يجب التمييز بين نوعين من الدوال:
1. الدوال التي نقوم بكتابتها بنفسنا من خلال ملف من النوع M-File وتخزينها باسم معين لاستخدامها فيما بعد.
فإن برنامج الـ Matlab يتيح لنا إمكانية كتابة وأضافة دوال إلى الدوال الأساسية الموجودة فيه، وذلك عن طريق إعداد هذه الدوال كملفات M-File من خلال النافذة وحفظها بإسم معين.

يتم حفظ الدالة في m-files ويجب تعريف الدالة في أول سطر مع مراعاة التالي :
· أن يكون اسم الدالة الموجود في تعريف الدالة هو نفسه الذي يتم به حفظ الدالة.
· أن يكون اسم الدالة مكون من مقطع واحد لا يفصل بينه مسافات .
· أن لا يتجاوز اسم الدالة 31 حرف .
· أن يبدأ اسم الدالة بحرف ويمكن إتباعه برمز .
وعند الحاجة للبرنامج يتم كتابة اسم البرنامج ثم استخدامه ، أو يمكن تشغيله من أمر Run الموجود على شاشة الملف مباشرة.
حفظ دالة بسيطة في m-file :
نفتح new m-file ثم نقوم بكتابة البرنامج التالي :
function y = sample(x)

x.^4-y=x+x.^2
الشكل (2-1): m-file
ثم نستخدمه لحساب قيمة y عند x=3:
>> sample(3)
ans =
-69
كما نستخدمه لرسم منحنى الدالة في الفترة [-2,2] :
>> x = -2:.01:2;
>> plot(x,sample(x));

الشكل (3-1): رسم الدالة y = x+x.^2-x.^4
2. الدوال المخزنة في برنامج الـ Matlab وهي دوال معدة بواسطة الشركة المنتجة للبرنامج ويمكننا استخدامها مباشرة دون الحاجة لمعرفة الكود المكتوب لها.
هناك الكثير من الدوال المخزنة على Matlab ويبين الجدول التالي بعضاً منها :
Ø دوال التقريب:

الدالة
الوظيفة
Rem
تقوم بإخراج الباقي الصحيح لعملية القسمة.
Floor
تقريب الرقم العشري أو المصفوفة باتجاه ∞-
Ceil
تقريب الرقم العشري أو المصفوفة باتجاه ∞
Fix
تقريب الرقم العشري باتجاه الصفر
يعني تقوم بالغاء الكسر والحصول على الرقم الصحيح فقط.
Round
تقريب الرقم العشري باتجاه أقرب رقم صحيح


الجدول (2-1)
Ø الدوال المثلثية:

الدالة
الوظيفة
Sin
لحساب جيب الزاوية.
Cos
لحساب جيب التمام للزاوية.
Tan
لحساب ظل الزاوية.
Cot
لحساب ظل التمام للزاوية.
Sec
دالة
Csc
دالة
Asin
لمعرفة قيمة الزاوية بالتقدير الدائري بمعلومية جيب الزاوية.
Acos
لمعرفة قيمة الزاوية بالتقدير الدائري بمعلومية جيب تمام الزاوية.
Atan
لمعرفة قيمة الزاوية بالتقدير الدائري بمعلومية ظل الزاوية.
Acot
لمعرفة قيمة الزاوية بالتقدير الدائري بمعلومية تمام ظل الزاوية.
Acsc
معكوس csc
Asec
معكوس sec
Sinh
دالة الزائدية sin
Cosh
دالة الزائدية cos
Asinh
معكوس sinh
Acosh
معكوس cosh


الجدول (3-1)
Ø الدوال الحسابية الأولية:

الدالة
الوظيفة
Exp
Sqrt
لإيجاد الجذر التربيعي
Abs
لإيجاد القيمة المطلقة
Gcd
القاسم المشترك الأعظم
Lcm
المضاعف المشترك الأصغر
Max
لإيجاد القيمة العظمى
Min
لإيجاد القيمة الصغرى
Mod
القيمة المطلقة للباقي الصحيح للقسمة.
Rem
لحساب الباقي الصحيح للقسمة.
Log
اللوغاريتم الطبيعي: ذو الأساس الطبيعي 2.7183=e
log2
اللوغاريتم ذو الأساس 2.
log10
اللوغاريتم ذو الأساس العشري(ذو الأساس10)
Factorial
لحساب المضروب.
Complex
لتكوين أعداد مركبة من أعداد حقيقية وأعداد تخيلية يتم تمريرها للدالة.
Conj
لمعرفة المرافق للعدد التخيلي.
Imag
لإيجاد الجزء التخيلي من العدد المركب
Real
لإيجاد الجزء الحقيقي من العدد المركب


الجدول (4-1)

(6-1)الرسم على MATLAB:
الرسم إما ثنائي و ثلاثي الأبعاد :
يمتلك برنامج Matlab قدرة كبيرة وإمكانيات عالية في عرض المتجهات والمصفوفات والدوال كرسومات بيانية، كما يمكنه من رسم الأشكال ثلاثية الأبعاد بالإضافة إلى تحريك تلك الأشكال الرسومية، وهذا بالإضافة إلى إمكانية إدراج أية تعليقات نصية على الرسومات وطباعتها، وبذلك تكون إمكانيات رسم المنحنيات الرياضية والمصفوفات في Matlab من أهم الإمكانيات المميزة فيه. ويقدم لنا برنامج Matlab وسائل تساعدنا على الرسم مثل تغير لون الخط، وتسمية المحاور، وتسمية الرسمة، وتسمية المتغيرات، وتقسيمها ومنها:


الدالة
الوظيفة
plot
يستخدم للرسم الخطية ثنائية الأبعاد2-D .
Plot3
تستخدم للرسم ثلاثي الأبعاد.
surf
مشابة لـ mesh لكن مع تلوين الرسم وبالتالي تلوين الشكل كاملاً وهوللرسم ثلاثي الأبعاد3-D.
Surfc
مشابة لـ meshc لكن مع تلوين الرسم وبالتالي تلوين الشكل كاملاً وهو للرسم ثلاثي الأبعاد3-D.
mesh
للرسم على المحاور الاحداثية الثلاثة 3-D على شكل شبكة.
ezplot
تقوم بالرسم على المحاور الثنائية ضمن مجال يمكن تحديده ولعلاقة بمتحول أو متحولين.
meshgrid
تعريف المحاور لأستخدامها في الرسم ثلاثي الأبعاد 3-D.
hold
تقدم هذه التعليمة امكانية رسم اكثر من منحنى حيث يتم تفعيلها ب hold on ورسم مانشاء وبعد ذلك يتم ايقافها ب hold off
Title
لكتابة عنوان على الرسم .
Xlabel
لتسمية المحور الأفقي للرسم .
Ylabel
لتسمية المحور العمودي للرسم .
Zlabel
لتسمية محور البعد الثالث للرسم.
grid on
لرسم شبكة على الرسم (أو لتقسيم الرسم ).
subplot
لعرض عدة رسومات منفصلة في إطار واحد .
Text
لكتابة أي تعليق على الرسم .
Legend
مفتاح الرسم (أسماء المتغيرات) .
view
لتحديد من أي إتجاه يرسم الشكل.
axis
لتحديد أطوال المحاور.
contour
لعمل تخطيط للرسم في بعدين او ثلاثة أبعاد.


الجدول (5-1)
لرسم أكثر من دالة نستخدم الألوان التالية :

اللون
أحمر
أبيض
أسود
أصفر
أخضر
أرجواني
أزرق
أزرق داكن
الرمز
R
W
K
Y
G
M
C
B


الجدول (6-1)
أو يمكن التميز بين الدوال بنوع خطوط الرسم كما يلي:


الرمز
-
:
.-
--
نوع الخط
Solid
Dotted
Dash dot
Dashed


الجدول (7-1)
أنواع الأخطاء:
الخطأ المطلق(Absolute Error):
تعريف :الخطأ المطلق هو القيمة المطلقة للفرق ما بين الرقم وتقريبة، ويرمز له بالرمز A.E وبالرموز:

العدد
تقريب العدد
الخطأ النسبي(Relative Error):
تعريف :الخطأ النسبي هو القيمة المطلقة للفرق ما بين الرقم وتقريبة مقسوماً على الرقم نفسه ويرمز له بالرمز R.Eوبالرموز:
بشرط أن .

مثال(1) :

ارسمي الدالتين التالية بنفس الرسم ؟
الحل:
>> x=-2:0.1:2;
>> y1=x.^2.*cos(x);y2=x.^2.*sin(x);
>> plot(x,y1);
>> hold on
>> plot(x,y2);
>> hold off
>> xlabel('x-axis')
>> ylabel('y-axis')
>> grid on
يظهر لنا الرسم التالي:

الشكل (4-1): رسم الدالتين
مثال(2) :
ارسمي الدالة x=-4:0.1:4 , y=x^2 ؟
الحل:
>> x=-4:.1:4;
>> y=x.^2;
>> plot(x,y,'o')
يظهر لنا الرسم التالي:

الشكل (5-1) : رسم الدالة y=x.^2
مثال(3) :
ارسمي الدالة ؟
الحل:
>> [x,y]=meshgrid(1:0.1:3,1:0.1:3);
>> z=2*x*y/(x^2+y^2);
>> surf(x,y,z);
>> xlabel('x')
>> ylabel('y')
>> zlabel('z')
يظهر لنا الرسم التالي:


الشكل (6-1) : رسم
>>contour(x,y,z)
>> xlabel('x')
>> ylabel('y')

الشكل (7-1) : مخطط الدالة
مثال(4):
ارسمي الدالة cosn(x),sin(x ) وحاصل جمعهما وحاصل الطرح والدالتين مع بعضهما في نفس الرسم؟
الحل:
x=-10:.01:10;
y1=sin(x);
subplot(3,2,1)
plot(x,y1);xlabel('x');ylabel('y');title('sin(x)')
subplot(3,2,2)
y2=cos(x);
plot(x,y2,'r');xlabel('x');ylabel('y');title('cos( x)')
subplot(3,2,3)
plot(x,y1+y2,'k');xlabel('x');ylabel('y');title('s in(x)+cos(x)')
y4=y2-y1;
subplot(3,2,4)
plot(x,y1,x,y4);xlabel('x');ylabel('y');title('cos (x)-sin(x)')
y5=sin(x);
y6=cos(x);
subplot(3,2,5)
plot(x,y5,'r',x,y6,'k');xlabel('x');ylabel('y');ti tle('sin(x) and cos(x)')

الشكل (8-1): رسم للدالتين cosn(x),sin(x )
مثال (5):
ارسمي الدالة و ؟
الحل:
>> [X,Y] = meshgrid(-8:.5:;
>> R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
>> Z = sin(R)./R;
>> surf(X,Y,Z)